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Wie man durch Gruppierung faktorisiert

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Autor: Monica Porter
Erstelldatum: 16 Marsch 2021
Aktualisierungsdatum: 1 Juli 2024
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Faktorisierung durch Gruppierung ► Ein weiteres Beispiel
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Inhalt

In diesem Artikel: Polynome 2. Grades Polynome mit vier BegriffenReferenzen

Es gibt eine Technik, die es ermöglicht, die Gleichungen zweiten Grades, die der Gruppen, leichter zu lösen. Es wird auch zur Vereinfachung von Vier-Term-Polynomen verwendet. Je nach Art der Polynome gibt es geringfügige Unterschiede in der Methode.


Stufen

Methode 1 Polynome zweiten Grades



  1. Beobachten Sie zunächst die Struktur des Polynoms. Bei dieser Methode muss sich das Polynom in seiner kanonischen Form präsentieren: axe + bx + c
    • Am häufigsten denken wir an diese Methode, wenn der erste Koeffizient (das "a" von ax) von 1 abweicht, aber die Methode in diesem Fall immer noch funktioniert.
    • Beispiel : 2x + 9x + 10



  2. Finden Sie die erzeugt extreme Koeffizienten. Multiplizieren Sie die Koeffizienten hat und c. Dieses Produkt heißt erzeugt extreme Koeffizienten.
    • Beispiel : 2x + 9x + 10
      • a = 2; c = 10
      • a x c = 2 x 10 = 20




  3. Teilen Sie das Produkt der extremen Koeffizienten in Faktorenpaare auf. Listen Sie alle Faktoren des letztgenannten Produkts auf und gruppieren Sie sie dann in Paare, deren Produkt das Produkt der Koeffizienten ergibt.
    • Beispiel Die Faktoren von 20 sind: 1, 2, 4, 5, 10, 20
      • Man erhält so die Paare eindeutiger Faktoren: (1, 20), (2, 10), (4, 5)



  4. Dann finden Sie das Paar von Faktoren, deren Summe gleich dem zweiten Koeffizienten des Polynoms ist, dh "b". Nehmen Sie jedes Paar und addieren Sie die beiden Elemente. Sie müssen das Paar auswählen, dessen Summe der Koeffizient "b" ist.
    • Wenn Ihr Produkt aus extremen Koeffizienten negativ ist, müssen Sie das Paar finden, dessen Differenz dem Koeffizienten "b" entspricht.
    • Beispiel : 2x + 9x + 10
      • b = 9
      • 1 + 20 = 21 - das ist nicht das richtige Paar
      • 2 + 10 = 12 - das ist nicht das richtige Paar
      • 4 + 5 = 9 – dies ist das richtige Paar




  5. Ersetzen Sie den Koeffizienten des zweiten Terms des Polynoms durch das gefundene Paar. Entwickeln Sie den neuen Begriff und achten Sie dabei auf die Zeichen.
    • Unabhängig von der Bedeutung der Faktoren im Paar, da a + b = b + a.
    • Beispiel : 2x + 9x + 10 = 2x + (5 + 4) x + 10 = 2x + 5x + 4x + 10



  6. Gruppieren Sie die vier Begriffe in zwei Begriffspaare. Gruppieren Sie die ersten beiden, dann die letzten beiden.
    • Beispiel : 2x + 5x + 4x + 10 = (2x + 5x) + (4x + 10)



  7. Faktor jedes Paar. Finden Sie den / die gemeinsamen Faktor (en) in jedem Paar und ordnen Sie sie in Faktoren ein. Dann schreiben Sie das Polynom.
    • Beispiel : x (2x + 5) + 2 (2x + 5) - wir setzen "x" für das erste Paar und 2 für das zweite



  8. Faktor wieder. Normalerweise sollten Sie beide Begriffe in Klammern setzen können, da sie identisch sein sollten. Zuletzt stellen Sie die restlichen Begriffe zusammen.
    • Beispiel : (2x + 5) (x + 2) - Wir setzen (2x + 5) in Faktor und gruppieren den Rest



  9. Geben Sie Ihre endgültige Antwort ein.
    • Beispiel : 2x + 9x + 10 = (2x + 5) (x + 2)
      • Die endgültige Antwort lautet: (2x + 5) (x + 2)

Einige Beispiele für die Faktorisierung von Polynomen 2. Grades



  1. Faktor: 4x - 3x - 10
    • a x c = 4 x -10 = -40
    • Die Faktorpaare von 40 sind: (1, 40), (2, 20), (4, 10), (5, 8)
    • Das richtige Paar ist: (5, 8); 5 - 8 = -3
    • 4x - 8x + 5x - 10
    • (4x - 8x) + (5x - 10)
    • 4x (x - 2) + 5 (x - 2)
    • (x - 2) (4x + 5)



  2. Faktor: 8x + 2x - 3
    • a x c = 8 x -3 = -24
    • Die Faktorpaare von 24 sind: (1, 24), (2, 12), (4, 6)
    • Das gute Paar ist: (4, 6), da 6 - 4 = 2
    • 8x + 6x - 4x - 3
    • (8x + 6x) - (4x + 3)
    • 2x (4x + 3) - 1 (4x + 3)
    • (4x + 3) (2x - 1)

Methode 2 Polynome mit vier Termen



  1. Beobachten Sie zunächst die Struktur des Polynoms. Er muss vier Begriffe vorlegen. Polynome dieses Typs können sehr unterschiedlich sein, wie Sie später sehen werden.
    • Am häufigsten wird diese Methode mit Polynomen dritten Grades des Typs verwendet: axe + bx + cx + d
    • Polynome müssen in ihrer kanonischen Form vorliegen. Beispiele:
      • axy + by + cx + d
      • axe + bx + cxy + dy
      • axe + bx + cx + dx
      • ... oder andere Formen.
    • Beispiel : 4x + 12x + 6x + 18x



  2. Finden Sie die größter gemeinsamer Faktor (PGCF) und in Faktor setzen. Prüfen Sie, ob es einen allen Begriffen des Polynoms gemeinsamen Faktor gibt. Finden Sie das größtmögliche, wenn es eines gibt, und rechnen Sie es aus.
    • Wenn die PGCF 1 ist, gibt es nichts zu tun, können Sie nicht faktorisieren.
    • Wenn Sie die PGCF berücksichtigt haben, sollten Sie sie bei der Berechnung nicht verlieren, da sie auseinander liegt. Es muss jedes Mal neu geschrieben werden, bis die endgültige Antwort vorliegt.
    • Beispiel : 4x + 12x + 6x + 18x
      • 2x ist jedem Begriff gemeinsam, also können wir es in Faktor setzen, was ergibt:
      • 2x (2x + 6x + 3x + 9)



  3. Gruppieren Sie dann die Begriffe, die einen oder mehrere Faktoren gemeinsam haben. Beispielsweise können Sie die ersten beiden Begriffe und die letzten beiden Begriffe gruppieren.
    • Wenn der erste Term der zweiten Gruppe negativ ist, geben Sie den Faktor -1 ein. Somit wird der erste Term positiv und Sie müssen das Vorzeichen des zweiten Terms ändern (+ wird zu - und umgekehrt).
    • Beispiel : 2x (2x + 6x + 3x + 9) = 2x



  4. Finden Sie die größter gemeinsamer Faktor (PGCF) jedes Paares. Diese PGCFs müssen, wie es sein sollte, vor der Klammer des betreffenden Paares stehen. Schreiben Sie das Polynom entsprechend.
    • Wenn wir zum Beispiel 2x faktorisieren, müssen wir uns fragen, ob wir 2x oder -2x faktorisieren. Es hängt alles von den Vorzeichen der Binomialterme ab. Es gibt zwei Fälle:
      • Wenn der erste Term des Binomials positiv ist, faktorisieren Sie eine positive Größe.
      • Wenn der erste der Begriffe negativ ist, faktorisieren Sie eine negative Menge.
    • Beispiel 2x = 2x - wir addieren 2x in Faktor für das erste Paar und nur 3 für das zweite.



  5. Faktorisieren Sie das gemeinsame Paar erneut. Normalerweise sollten Sie ein gemeinsames Binomial sehen, und als solches können Sie es in einen gemeinsamen Faktor setzen. Ordnen Sie dann einfach das Polynom entsprechend an. Achten Sie darauf, nichts zu vergessen und die Zeichen nicht zu ändern!
    • Wenn Sie nicht zwei identische Paare erhalten, liegt irgendwo ein Fehler vor. Berechnen Sie noch einmal. Es kann einfach eine fehlerhafte Platzierung von Begriffen oder eine fehlende Vereinfachung sein.
    • Was in Klammern steht, die letzten beiden Paare, müssen identisch sein. Ist dies nicht der Fall, kann das Polynom weder mit dieser Methode noch mit einem anderen Umwerfer faktorisiert werden.
    • Beispiel : 2x = 2x



  6. Schreiben Sie Ihre Antwort. An diesem Punkt müssen Sie Ihre endgültige Antwort haben.
    • Beispiel : 4x + 12x + 6x + 18x = 2x (x + 3) (2x + 3)
      • Ihre endgültige Antwort lautet: 2x (x + 3) (2x + 3)

Einige Beispiele für die Faktorisierung von Vier-Term-Polynomen



  1. Faktor: 6x + 2xy - 24x - 8y
    • 2
    • 2
    • 2
    • 2
    • 2 (3x + y) (x - 4)



  2. Faktor: x - 2x + 5x - 10
    • (x - 2x) + (5x - 10)
    • x (x - 2) + 5 (x - 2)
    • (x - 2) (x + 5)