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Wie man mathematische Demonstrationen macht

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Autor: Randy Alexander
Erstelldatum: 25 April 2021
Aktualisierungsdatum: 26 Juni 2024
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Inhalt

In diesem Artikel: Grundlegendes zum ProblemErfinden einer DemonstrationReduzieren einer Demonstration14 Verweise

Es ist manchmal schwierig zu demonstrieren. Um dies zu erreichen, muss man sowohl seine Kenntnisse der Mathematik als auch das Know-how des Schreibens dieser Demonstration anwenden.Leider gibt es keinen magischen Weg, um ohne Anstrengung und beim ersten Mal erfolgreich zu sein. Sie müssen eine solide Grundlage in diesem Material haben, um Ihre Argumentation mit den richtigen Theoremen und Definitionen zu unterstützen. Übe, lies Demonstrationen, das ist der beste Weg, um es irgendwann selbst brillant schreiben zu können.


Stufen

Teil 1 Das Problem verstehen



  1. Identifizieren Sie die Frage. Ihre erste Aufgabe ist es, zu bestimmen, was genau Sie beweisen müssen. Diese Frage wird auch als Abschluss der Demonstration dienen. Nehmen Sie sich gleichzeitig Zeit, um die Hypothesen zu identifizieren, mit denen Sie arbeiten werden. Dies ist der Ausgangspunkt für das Verständnis des Problems und seiner Lösung.



  2. Machen Sie Diagramme. In der Mathematik ist es oft nützlich, ein zusammenfassendes Diagramm zu erstellen, wenn Sie die Vor- und Nachteile einer Übung verstehen möchten. Dies gilt umso mehr für die Geometrie, in der Sie direkt visualisieren können, was Sie zu beweisen versuchen.
    • Verwenden Sie die Anweisung, um Ihr Diagramm zu erstellen. Liste bekannter Daten und Unbekannter.
    • Notieren Sie alle Informationen, die zur Unterstützung der Demonstration benötigt werden.




  3. Studie. Das Schreiben eines mathematischen Beweises ist nicht offensichtlich. Um Ihnen zu helfen, lesen und analysieren Sie die Theoreme, die sich auf das Thema beziehen, an dem Sie arbeiten, um zu verstehen, wie sie aufgebaut sind.
    • Sagen Sie sich selbst, dass eine Demonstration nichts anderes ist als ein gutes Argument, dessen Aussagen in jeder Phase gerechtfertigt sind. In Ihren Lehrbüchern und im Internet finden Sie viele Beispiele, die als Vorlage dienen können.



  4. Fragen stellen. Wenn Sie Fragen haben, wenden Sie sich bitte an Ihren Lehrer oder Ihre Klassenkameraden. Sie wundern sich vielleicht auch über einige der Überlegungen, die Sie zusammenarbeiten können. Es ist besser, um Hilfe zu bitten, als allein zu sein und blindlings in der Hoffnung zu fummeln, ein Ergebnis zu erzielen.
    • Sprechen Sie nach dem Unterricht mit Ihrem Lehrer, um den richtigen Weg zu finden.

Teil 2 Eine Demo erfinden




  1. Verstehe, was eine Demonstration ist. Es ist eine Reihe logisch geordneter Behauptungen, die von Definitionen und Theoremen gestützt werden, um die Wahrheit einer anderen Aussage zu beweisen. Dies ist der einzige Weg zu wissen, ob eine Argumentation nur mathematisch ist.
    • In der Lage zu sein, Demonstrationen zu schreiben, zeugt unbestreitbar davon, dass Sie das Problem und die Konzepte, mit denen Sie es lösen, genau verstanden haben.
    • Diese Übung ermöglicht es Ihnen auch, Mathematik in einem sehr interessanten neuen Licht wahrzunehmen. Selbst in Fällen, in denen Sie Ihre Demonstrationen nicht erfolgreich abschließen können, können Sie Ihr Wissen und Ihr Verständnis über den Kurs verbessern, indem Sie versuchen, ihn zu verbessern.



  2. Betrachten Sie Ihr Publikum. Sie dürfen nicht vergessen, für welchen Lesertyp Sie arbeiten und wie gut Sie ihn verstehen. Eine Demonstration, die für die Veröffentlichung in einer wissenschaftlichen Zeitschrift und die Argumentation in einem Mathematikkurs der High School vorgesehen ist, ist nicht in der gleichen Weise verfasst.
    • Sie müssen schreiben, indem Sie sicherstellen, dass Ihr Leser Ihren Fortschritt mit dem Wissen nachverfolgen kann, über das er bereits verfügt.



  3. Identifizieren Sie die Art der Demonstration. Es gibt mehrere Demonstrationsmodelle. Sie wählen eines entsprechend den Anweisungen, die Sie und der Leser erhalten, für den die Übung bestimmt ist. Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Sie die richtige Wahl treffen sollen, bitten Sie Ihren Lehrer um Hilfe. In der High School wird von Ihnen nicht immer erwartet, dass Sie eine Demonstration in ihrer klassischen Form schreiben.
    • Eine Demonstration in Form einer Tabelle kann durchgeführt werden, indem in die erste Spalte die Bestätigungen und in die zweite Spalte die Argumente eingegeben werden, die diese Aussagen rechtfertigen. Oft geht man auf diese Weise in der Geometrie vor.
    • In seiner klassischen Form muss der mathematische Beweis mit grammatikalisch korrekten Sätzen und ohne Symbol geschrieben werden. Auf akademischer Ebene wird dies erforderlich sein.



  4. Bedienen Sie sich bei der Demonstration in zwei Spalten. Wenn Sie Ihre Argumentation in Tabellenform eingeben, können Sie die wichtigsten Zeilen Ihrer Demonstration kennenlernen, bevor Sie sie in klassischer Form schreiben. Sie können die Tabelle verwenden, um Ihre Ideen zu organisieren und über die Frage nachzudenken. Zeichnen Sie eine Linie senkrecht in die Mitte Ihres Blattes und schreiben Sie dann die bekannten Daten und alle Ihre Affirmationen nach links. Begründen Sie sie rechts mit Hilfe der richtigen Definitionen und Sätze.
    • Hier ist ein Beispiel.
    • Die Winkel A und B sind benachbart. Gegeben durch die Aussage.
    • Der Winkel ABC ist ein flacher Winkel. Definition des flachen Winkels.
    • Der Winkel ABC misst 180 °. Definition einer geraden Linie
    • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC. Eigenschaft der Winkelsumme.
    • Winkel A + Winkel B = 180 °. Ersetzung durch einen Wert.
    • Winkel A und B sind zusätzliche Winkel. Definition zusätzlicher Winkel
    • C.Q.F.D.



  5. Wechseln Sie von der Tabelle zur Standardbegründung. Verwenden Sie Ihre beiden Spalten, um die Demonstration als schriftlichen Absatz zu schreiben, der nicht zu viele Symbole oder Abkürzungen enthalten darf.
    • Zum Beispiel: A und B sind benachbarte Winkel. Nach der Hypothese sind die Winkel A und B zusätzlich. Da sie zusätzlich und benachbart sind, bilden die Seiten der Winkel A und B eine gerade Linie. Die Definition einer geraden Linie impliziert, dass sie einen Winkel von 180 ° begrenzt. Anhand der Postulate zu den Winkelsummen können wir sagen, dass die Addition der Winkel A und B die Linie ABC ergibt. Die Summe der Winkel A und B ist gut gleich 180 °, daher handelt es sich um zusätzliche Winkel. C.Q.F.D.

Teil 3 Eine Demonstration schreiben



  1. Machen Sie sich mit dem Wortschatz vertraut. Sie werden schnell bemerken, dass bestimmte Sätze in den Demonstrationen ohne Unterbrechung wieder vorkommen. Sie müssen lernen, sie zu kennen und sie mit Bedacht einzusetzen, um Ihre eigenen Demonstrationen erfolgreich selbst zu schreiben.
    • Formeln vom Typ "Wenn A wahr ist, dann ist B wahr" bedeuten, dass Sie beweisen müssen, dass, wann immer A wahr ist, auch B notwendigerweise wahr ist.
    • "A ist wahr, wenn und nur wenn B wahr ist" bedeutet, dass Sie beweisen müssen, dass B und A gleichzeitig wahr und falsch sind. Zeigen Sie also, dass "wenn A wahr ist, dann ist B wahr" und auch, dass "wenn A falsch ist, dann ist B falsch".
    • "A ist nur dann wahr, wenn B wahr ist", lautet eine andere Formulierung, die besagt: "Wenn A wahr ist, dann ist B wahr". Es ist etwas seltener, aber Sie müssen es trotzdem wissen, wenn Sie es treffen.
    • Verwenden Sie beim Schreiben Ihrer Demonstration das "Wir" und nicht das "Ein".



  2. Listen Sie die bekannten Daten auf. Beim Entwerfen einer Demonstration besteht Ihre erste Aufgabe darin, alle in der Anweisung enthaltenen Informationen zu identifizieren und aufzulisten. Auf diese Weise können Sie eine Bestandsaufnahme durchführen, was Sie wissen und was noch zu tun ist, um zum mathematischen Beweis zu gelangen. Überprüfen Sie Ihr Problem sorgfältig und notieren Sie alles, was Sie für nützlich halten.
    • Nehmen Sie ein Beispiel: Zeigen Sie, dass zwei benachbarte Winkel (A und B) zusätzlich sind.
    • Was ist gegeben: Die Winkel A und B grenzen aneinander.
    • Was zu beweisen ist: Die Winkel A und B sind zusätzlich.



  3. Definieren Sie die Variablen. Sobald Sie alle bekannten Daten vor sich haben, müssen Sie die Definition jeder Variablen angeben. Um es Ihrem Leser klar zu machen, schreiben Sie diese Definitionen als Einstieg. Wenn Sie dies nicht tun, kann es sehr schnell in Ihrer Überlegung verloren gehen.
    • Verwenden Sie niemals Variablen, die zuvor nicht definiert wurden.
    • In unserem Beispiel sind die Variablen die Maße der Winkel A und B.



  4. Gehen Sie in umgekehrter Reihenfolge vor. Sehr oft ist es viel einfacher, das Problem in die entgegengesetzte Richtung zu lenken. Beginnen Sie mit dem Ende, dh mit der Aussage, die Sie demonstrieren möchten, und überlegen Sie sich die Reihenfolge der logischen Schritte, mit denen Sie zum Anfang der Überlegungen zurückkehren können.
    • Überarbeiten Sie die ersten und letzten Schritte, um festzustellen, ob Sie sie ähnlich gestalten können. Dies basiert auf den bekannten Daten, den Definitionen, die Sie gelernt haben, und den ähnlichen Demonstrationen, die Sie bereits erlebt haben.
    • Fragen Sie sich bei jedem Schritt. "Warum ist das so? Und "Gibt es Fälle, in denen dies falsch sein könnte? Sind sehr relevante Fragen, die Sie während Ihres logischen Fortschritts stellen müssen.
    • Vergessen Sie nicht, alle Schritte beim endgültigen Entwurf in der richtigen Reihenfolge anzuordnen.
    • Nehmen wir unser Beispiel: Wenn A und B zusätzliche Winkel sind, bedeutet dies, dass die Summe ihrer Maße 180 ° beträgt. Die Kombination dieser beiden Winkel bildet die Linie ABC. Sie wissen, dass sie eine gerade Linie bilden, indem Sie benachbarte Winkel definieren. Da ein Liniensegment auch einem flachen Winkel entspricht, beträgt das Maß 180 °. Da der Winkel von der Linie 180 ° beträgt, können Sie durch Ersetzen zeigen, dass die Winkel A und B auch 180 ° betragen, wenn wir sie hinzufügen.



  5. Ordnen Sie Ihre Schritte logisch. Beginnen Sie am Anfang und kommen Sie zum Abschluss. Obwohl es sehr praktisch ist, bei der Suche nach einer Lösung rückwärts zu denken, muss beim Schreiben der Demonstration darauf geachtet werden, dass alles wieder in die richtige Reihenfolge gebracht wird, bis zum Schluss. Ihre Argumentation muss Schritt für Schritt mit Begründung für jede Aussage erfolgen, damit der Leser zu keinem Zeitpunkt die Möglichkeit hat, die Gültigkeit Ihrer Demonstration in Frage zu stellen.
    • Beginnen Sie mit den Annahmen, an denen Sie arbeiten.
    • Verwenden Sie einfache und offensichtliche Schritte, damit der Leser sich nie wundert, wie Sie von einem Schritt zum anderen gegangen sind.
    • Zögern Sie nicht, mehrere Entwürfe Ihrer Demonstration anzufertigen. Führen Sie so viele Tests durch, wie Sie benötigen, um die Schritte neu anzuordnen, bis Sie eine möglichst logische Reihenfolge erhalten.
    • Ausgehend von Anfang wird dies das folgende Beispiel geben.
      • Die Winkel A und B sind benachbart.
      • Der Winkel ABC ist flach.
      • Der Winkel ABC misst 180 °.
      • Winkel A + Winkel B = Winkel ABC.
      • Winkel A + Winkel B = 180 °.
      • Die Winkel A und B sind daher zusätzlich.



  6. Vermeiden Sie Pfeile und Abkürzungen. Zum Zeitpunkt der Erstellung des Entwurfs eines Plans haben Sie das Recht, Symbole zu verwenden und nicht alles vollständig zu schreiben. Andererseits würden diese Elemente in der endgültigen Fassung wahrscheinlich das Verständnis Ihres Lesers beeinträchtigen. Es ist daher besser, sie nicht zu verwenden und sie durch Verbindungswörter wie "also" oder "folglich" zu ersetzen.
    • Die einzige bemerkenswerte Ausnahme von dieser Regel ist die Verwendung des Akronyms C.Q.F.D (für "Was soll demonstriert werden?") Zum Jahresende.



  7. Begründen. Alle Ihre Aussagen müssen durch Definitionen, Theoreme oder mathematische Gesetze gestützt werden. Erst dann ist Ihre Demonstration gültig. Ein Argument ist nur gültig, wenn es von einer Definition begleitet wird. Um zu sehen, was dies konkret bedeuten kann, zögern Sie nicht, auf Demonstrationen in der Nähe derjenigen zu verweisen, an der Sie arbeiten und die als Beispiele dienen.
    • Testen Sie Ihre Demonstration, indem Sie versuchen, sie auf einen bestimmten Fall anzuwenden, für den sie normalerweise falsch ist. Wenn es nicht falsch ist, dass dieser spezielle Fall von den Bedingungen der Demonstration ausgeschlossen werden soll, müssen Sie Ihre Argumentation überdenken.
    • In der Geometrie werden die Demonstrationen sehr häufig als zweispaltige Tabelle dargestellt, wobei eine Spalte für das Argument und eine für die Begründung dient. Die übliche Form der klassischen Demonstration ist jedoch ein Absatz mit vollständigen Sätzen.



  8. Abschluss durch C.Q.F.D. Der letzte Satz der Demonstration sollte das sein, was Sie zeigen wollten. Wenn Sie es geschrieben haben, beenden Sie es mit dem Akronym C.Q.F.D oder machen Sie ein kleines farbiges Quadrat, um anzuzeigen, dass Ihre Arbeit abgeschlossen ist.
    • Die Formel aus dem Lateinischen Q.E.D. (quod erat demonstrandum), was auch "was zu demonstrieren" bedeutet.
    • Wenn Sie sich nicht sicher sind, ob Ihre Demonstration überzeugend ist, versuchen Sie, ein paar weitere Sätze zu schreiben, um zu erklären, wie Sie zu diesem Schluss gekommen sind und warum es für Sie sinnvoll ist.