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Wie man ein Trinom faktorisiert

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Autor: Monica Porter
Erstelldatum: 16 Marsch 2021
Aktualisierungsdatum: 1 Juli 2024
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Faktorisieren von Trinomen / Mathe-Video by Urs Wirth
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Inhalt

In diesem Artikel: x2 + bx + faktorisieren lernen Erfahren Sie, wie Sie kompliziertere Trinome faktorisieren können

Wie der Name schon sagt, ist ein Trinom ein mathematischer Ausdruck, der aus drei Begriffen besteht. Am häufigsten fangen wir an, die Trinome des zweiten Grades zu studieren, die sich somit anschließen: ax + bx + c. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Trinom zweiten Grades zu faktorisieren. Mit etwas Übung kommen Sie ohne Schwierigkeiten dorthin. Die Methoden, die wir sehen werden, gelten nicht für Trinome höheren Grades (mit x oder x). Wenn man jedoch diese letzten Trinome bearbeitet, kann man auf Trinome zweiten Grades zurückgreifen. Wir sehen das alles im Detail.


Stufen

Teil 1 Lernen, x + bx + c zu faktorisieren



  1. Verwenden Sie die SIDS-Methode. Sie wissen es vielleicht, aber erinnern wir uns, worum es geht. Wenn Sie ein Binomialprodukt entwickeln müssen, beispielsweise (x + 2) (x + 4), müssen Sie die Produkte der verschiedenen Terme in der Reihenfolge "Erste, Externe, Interne, Letzte" summieren. Im Detail ergibt dies:
    • multiplizieren zuerst Begriffe zwischen ihnen:x+2)(x+4) = x + __
    • multiplizieren Sie die Begriffe extern zwischen ihnen: (x2) (x +4) = x + 4x + __
    • multiplizieren Sie die Begriffe intern zwischen ihnen: (x +2)(x+4) = x + 4x + 2x + __
    • multiplizieren neueste Begriffe zwischen ihnen: (x +2) (X +4) = x + 4x + 2x + 8
    • Beenden Sie mit einer Vereinfachung: x + 4x + 2x + 8 = x + 6x + 8




  2. Verstehe, was Faktorisierung ist. Wenn Sie das Produkt aus zwei Paaren entwickeln, erhalten Sie ein Trinomial der Form: hatx +bx +c, a, b und c sind reelle Zahlen. Wenn wir die umgekehrte Operation ausführen, gehen wir vom Trinomial zum Binomialprodukt, wir sagen, dass wir factorises.
    • Aus Gründen der Klarheit müssen die Terme eines Trinoms in der Reihenfolge abnehmender Potenz eingestuft werden. Also, wenn wir Ihnen geben: 3x - 10 + x, müssen Sie umschreiben, um: x + 3x - 10.
    • Der größte Exponent ist 2 (x), wir sprechen vom Trinom 2. Grades.



  3. Zu Beginn der Faktorisierung setzen wir die Produktform der Binomialzahlen. Schreiben: (__ __)(__ __). Wir werden nach und nach die freien Stellen sowie die Schilder ausfüllen.
    • Im Moment setzen wir kein Zeichen (+ oder -) zwischen die beiden Terme der Binomialzahlen.




  4. Sie müssen zunächst die ersten Begriffe für jedes Paar suchen. Beginnt Ihr Trinom mit x, müssen die ersten beiden Terme der Paare sein x und xda x mal x = x.
    • Unser Starttrinom ist: x + 3x - 10 und da es bei x keinen Koeffizienten gibt, können wir sofort schreiben:
    • (x __) (x __)
    • Wir werden später sehen, wie man vorgeht, wenn sich der Koeffizient von x von 1 unterscheidet, wie 6x oder -x. Im Moment bleibt uns dieser einfache Fall.



  5. Versuchen Sie zu erraten, wie die letzten Terme der Paare aussehen werden. Überprüfen Sie, wie mit der PEID-Methode die letzten Terme der Binome entwickelt wurden. Wir müssen jetzt das Gegenteil tun. Wir multiplizierten dann die letzten beiden Terme, um den letzten Term ("Konstante") des Trinoms zu erhalten. Sie müssen also zwei Zahlen finden, die multipliziert die Konstante des Trinoms ergeben.
    • In unserem Beispiel: x + 3x - 10 ist die Konstante -10.
    • Was sind die Faktoren von -10? Welche beiden Zahlen ergeben, multipliziert mit ihnen, -10?
    • Hier sind alle möglichen Fälle: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 und 2 x -5. Schreiben Sie diese Kombinationen an einen Ort, an den Sie sich erinnern können.
    • Ihr Binomialprodukt bleibt vorerst unverändert. Er sieht immer so aus: (x __) (x __).



  6. Testen Sie die verschiedenen Kombinationen. Anhand der Konstanten haben Sie einige Kombinationen von Faktoren identifiziert, die funktionieren müssen (wenn das Trinom reduzierbar ist). Zu diesem Zeitpunkt gibt es keine andere Lösung, als jede Kombination zu testen, um festzustellen, ob eine davon das Trinom erfüllt. Zum Beispiel:
    • In unserem Beispiel muss die Summe aus dem Produkt "Extern" und dem Produkt "Intern" 3x sein (von x + genommen) 3x - 1)
    • Nehmen Sie die Kombination von -1 und 10: (x - 1) (x + 10). Die Summe aus dem Produkt "Extern" und dem Produkt "Intern" ergibt: 10x - x = 9x. Es geht nicht
    • Nimm die Kombination 1 und -10: (x + 1) (x - 10). Die Summe aus dem Produkt "Extern" und dem Produkt "Intern" ergibt: -10x + x = -9x. Es geht immer noch nicht! Sie werden im Vorbeigehen bemerken, dass diese letzte Überprüfung nutzlos war. In der Tat ergibt das Paar (-1.10) 9x und das Paar (1, -10) ergibt -9x. Testen Sie einfach ein einzelnes Paar.
    • Nimm die Kombination -2 und 5: (x - 2) (x + 5). Die Summe aus dem Produkt "Extern" und dem Produkt "Intern" ergibt: 5x - 2x = 3x. Eureka! Die Antwort lautet: (x - 2) (x + 5).
    • Bei so einfachen Trinomen wie diesen (beginnend mit x) können wir kürzere machen. Addieren Sie einfach die zwei möglichen Faktoren, fügen Sie am Ende "x" hinzu und Sie sehen sofort, ob es die richtige Kombination ist. Dort machst du: -2 + 5 → 3x. Wenn x von einem Koeffizienten flankiert wird, funktioniert die Methode nicht, weshalb Sie sich an die detaillierte Methode erinnern sollten.

Teil 2 Lernen, kompliziertere Trinome zu faktorisieren



  1. Zerlegen Sie Ihr Trinom in ein einfacheres Trinom. Angenommen, Sie müssen das folgende Trinomial faktorisieren: 3x + 9x - 30. Versuchen Sie herauszufinden, ob nicht alle drei Begriffe einen gemeinsamen Teiler haben. Wir nehmen dann den größten (falls es mehrere gibt), von dem der Name "Most Great Common Divisor" (oder PGCD) stammt. In unserem Trinom wird es 3 sein. Sehen wir uns das genauer an:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3)(-10)
    • Somit ist 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x - 10). Daher ist es einfach, die zweite Klammer gemäß dem oben beschriebenen Verfahren zu faktorisieren. Wir erhalten wie folgt: (3) (x-2), (x + 5). Wir dürfen das nicht vergessen 3 in faktor setzen.



  2. Manchmal können wir keine reellen Zahlen, sondern Mengen mit Unbekannten berücksichtigen. Somit können wir "x", "y" oder "xy" berücksichtigen. Hier einige Beispiele:
    • 2xy + 14xy + 24y = (2j)(x + 7x + 12)
    • x + 11x - 26x = (X)(x + 11x - 26)
    • -x + 6x - 9 = (-1)(x - 6x + 9)
    • Dann berücksichtigen Sie natürlich das neue Trinom, wie wir es zuvor gesehen haben. Prüfen Sie, ob keine Fehler vorliegen. Übe mit den Übungen, die am Ende dieses Artikels vorgeschlagen werden.



  3. Versuchen Sie, Trinome mit einem x zu faktorisieren, das von einem Koeffizienten flankiert wird. Einige Trinome des zweiten Grades sind schwieriger zu faktorisieren, das Bild von 3x + 10x + 8. Wir werden sehen, wie wir vorgehen, und was Sie dann mit den am Ende des Artikels vorgeschlagenen Übungen trainieren können. So arbeiten wir:
    • Fragen Sie das Produkt von Paaren: (__ __)(__ __)
    • Jeder der beiden "Ersten" Terme muss ein "x" haben und das Produkt von beiden muss 3x sein. Es gibt nur eine Möglichkeit: (3x __) (x __), 3 ist eine Primzahl.
    • Finden Sie die Faktoren von 8. Es gibt zwei Möglichkeiten: 1 x 8 oder 2 x 4.
    • Nehmen Sie diese Kombinationen, um die Konstanten der Paare zu finden. Wichtiger Punkt: Da das unbekannte "x" unterschiedliche Koeffizienten hat, ist die Reihenfolge der Kombination wichtig. Sie müssen das Ende der Mitte finden, hier 10x. Hier sind die verschiedenen Kombinationen:
    • (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x nein!
    • (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x nein!
    • (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x nein!
    • (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x ja! Dies ist die richtige Faktorisierung.



  4. Bei Vorhandensein eines Unbekannten mit einer Potenz von mehr als 2 kann ein unbekannter Ersatz erstellt werden. Eines Tages müssen Sie mit Sicherheit ein Trinom des vierten (x) oder des fünften Grades (x) faktorisieren. Ziel ist es, dieses Trinom auf etwas Bekanntes, also ein Trinom zweiten Grades, zurückzuführen, um es problemlos zu faktorisieren. Zum Beispiel:
    • x + 13x + 36x
    • = (x) (x + 13x + 36)
    • Erfinde ein neues Unbekanntes, das das Problem vereinfacht. Wir werden hier setzen, dass Y = x. Wir setzen ein Y, um uns daran zu erinnern, dass es sich um einen Ersatz handelt. Das Trinom wird dann:
    • = (x) (Y + 13Y + 36): Wir faktorisieren wie in Teil 1.
    • = (x) (Y + 9) (Y + 4). Es ist Zeit, die unbekannte Ersetzung durch ihren wahren Wert zu ersetzen:
    • = (x) (x + 9) (x + 4)
    • = (x) (x + 3) (x - 3) (x + 2) (x - 2)

Teil 3 Einige Spezialfälle von Trinomialisierungen



  1. Suchen Sie nach möglichen Primzahlen. Sehen Sie nach, ob die Konstante und / oder der Koeffizient des ersten oder dritten Terms keine Primzahlen sind. Denken Sie daran, dass eine Zahl als "Primzahl" bezeichnet wird, wenn sie nur durch 1 oder sich selbst teilbar ist. Wenn wir ausgehend von dieser Definition an den oben angegebenen Stellen eine Primzahl finden, kann das Trinom nur die Form eines einzelnen Binomialprodukts berücksichtigen.
    • Zum Beispiel in x + 6x + 5 die Konstante 5 ist eine Primzahl, daher hat das Binomialprodukt die Form: (__ 5) (__ 1)
    • In 3x + 10x + 8 der Koeffizient 3 Ist eine Primzahl, so hat das Produkt der Binomialzahlen die Form: (3x __) (x __).
    • Schließlich in 3x + 4x + 1, 3 und 1 Da es sich um Primzahlen handelt, ist die einzig mögliche Lösung: (3x + 1) (x + 1). Überprüfen Sie jedoch immer die Kombination. Es kommt vor, dass einige Trinome nicht berücksichtigt werden können. Somit kann 3x + 100x + 1 nicht berücksichtigt werden (wir sagen, dass es "irreduzibel" ist). Mit 3 und 1 werden Sie niemals 100 bekommen.



  2. Man muss immer an den Fall eines Trinoms denken, der die Entwicklung einer bemerkenswerten Identität bedeuten würde, ein perfektes Quadrat, um nur dieses Beispiel zu nehmen. Mit perfektem Quadrat meinen wir das Produkt zweier perfekt identischer Paare: (x + 1) (x + 1), die wir schreiben (x + 1). Hier sind einige dieser perfekten Quadrate:
    • x + 2x + 1 = (x + 1) und x - 2x + 1 = (x - 1)
    • x + 4x + 4 = (x + 2) und x - 4x + 4 = (x - 2)
    • x + 6x + 9 = (x + 3) und x - 6x + 9 = (x - 3)
    • Ein Trinom hatx + bx + c ist die Entwicklung eines perfekten Quadrats, wenn hat und c sind selbst positive Quadrate (wie 1, 4, 9, 16, 25 ...) und wenn b (positiv oder negativ) ist gleich 2 (√a x √c) = 2 √ac.



  3. Sehen Sie, ob es möglich ist, zu faktorisieren. Tatsächlich handelt es sich bei iI um Trinome, die nicht berücksichtigt werden können. Wenn Sie Schwierigkeiten haben, ein Trinom der zweiten kanonischen Form ax + bx + c zu faktorisieren, weil es keine offensichtlichen Wurzeln gibt, müssen Sie die Diskriminanzmethode (Δ) anwenden. Letzteres berechnet sich wie folgt: Δ = √b - 4ac. Wenn Δ <0 ist, kann das Trinom nicht berücksichtigt werden.
    • Verwenden Sie für Trinome, die nicht zweiten Grades sind, das im Abschnitt "Tipps" erläuterte Eisenstein-Kriterium.