Inhalt
- Stufen
- Um zu beginnen
- Methode 1 Fahren Sie mit Versuch und Irrtum fort
- Methode 2 Fahren Sie mit der Zersetzung fort
- Methode 3 Das "Dreifachspiel"
- Methode 4 Differenz zweier Quadrate
- Methode 5 Mit der quadratischen Formel
- Methode 6 Einen Taschenrechner benutzen
Ein Polynom besteht aus einer Variablen (x), die auf eine bestimmte Potenz angehoben wird, die als Grad des Polynoms bezeichnet wird, und mehreren anderen Begriffen mit niedrigeren Graden und / oder mehreren anderen Konstanten. Ein Polynom zweiten Grades (das auch als "quadratische Gleichung" bezeichnet wird) zu faktorisieren bedeutet, den Anfangsausdruck auf ein Produkt kleinerer Ausdrücke zu reduzieren, die dann miteinander multipliziert werden können. Dieses Wissen ist Teil des Highschool-Kurses und mehr. Daher ist dieser Artikel möglicherweise schwer zu verstehen, wenn Sie noch nicht über die erforderlichen Mathematikkenntnisse verfügen.
Stufen
Um zu beginnen
-
Schreiben Sie Ihren Ausdruck. Die Standardform einer Gleichung zweiten Grades lautet:ax + bx + c = 0
Beginnen Sie, indem Sie die Terme Ihrer Gleichung in der Reihenfolge der Potenzen vom größten zum kleinsten wie in der Standardform anordnen. Nehmen Sie zum Beispiel:6 + 6x + 13x = 0
Wir werden diesen Ausdruck neu anordnen, um die Arbeit zu erleichtern, indem wir einfach die Begriffe verschieben:6x + 13x + 6 = 0. -
Suchen Sie das faktorisierte Formular mit einer der unten erläuterten Methoden. Die Faktorisierung ergibt zwei kürzere Ausdrücke, die das anfängliche Polynom ergeben, wenn wir sie miteinander multiplizieren:6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
In diesem Beispiel sind (2x +3) und (3x + 2) Faktoren des Anfangsausdrucks, 6x + 13x + 6. -
Überprüfen Sie Ihre Arbeit! Multiplizieren Sie die von Ihnen identifizierten Faktoren. Dann kombinieren Sie die ähnlichen Begriffe und Sie werden fertig sein. Beginnen Sie mit:(2x + 3) (3x + 2)
Beginnen wir mit dem Testen dieses Ausdrucks und multiplizieren die Ausdrücke der beiden Ausdrücke, um Folgendes zu erhalten:6x + 4x + 9x + 6
Von dort aus können wir 4x und 9x addieren, da sie Begriffe des gleichen Grades sind. Wir wissen dann, dass unsere Faktoren richtig sind, weil wir gut auf den Ausdruck der Abreise fallen:6x + 13x + 6.
Methode 1 Fahren Sie mit Versuch und Irrtum fort
Wenn Sie es mit einem relativ einfachen Polynom zu tun haben, sollten Sie seine Zersetzung als Faktorprodukt auf einen Blick erkennen können. Zum Beispiel können viele Mathematiker diesen Ausdruck sehen 4x + 4x + 1 gibt die Faktoren (2x + 1) und (2x + 1) nach Gewohnheit und Erfahrung an (offensichtlich ist dies bei komplexen Polynomen nicht so einfach). Nehmen wir für dieses Beispiel einen weniger gebräuchlichen Ausdruck:
.
-
Machen Sie eine Liste der Koeffizientenfaktoren hat und c. Den Ausdruck des Formulars verwenden ax + bx + c = 0, identifizieren Sie die Koeffizienten hat und c und liste die entsprechenden Faktoren auf. Für: 3x + 2x - 8 ergibt dies:a = 3 und hat nur ein Faktorpaar: 1 * 3 c = -8 und vier Faktorenpaare: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 und -1 * 8. -
Schreiben Sie auf Ihr Blatt Papier zwei Klammerpaare mit Leerzeichen, um darin zu schreiben. Sie geben die Konstanten für jeden Ausdruck in das dafür vorgesehene Feld ein:(x) (x). -
Schreiben Sie vor das x ein Paar möglicher Faktoren für den Koeffizienten hat. Für den Koeffizienten hat In unserem Beispiel 3x gibt es nur eine Möglichkeit:(3x) (1x). -
Füllen Sie dann die beiden verbleibenden Leerstellen mit einem Faktorpaar für den Koeffizienten aus c. Nimm zum Beispiel 8 und 1. Schreibe sie auf:(3x8) (X1). -
Entscheide dich jetzt für das Zeichen (mehr oder weniger), um zwischen das x und die Zahl zu setzen, die Sie nach ihm gesetzt haben. Anhand des Zeichens des ursprünglichen Ausdrucks ist es möglich, die Zeichen der Konstanten zu finden. Anruf h und k die Konstanten unserer Faktoren:Wenn ax + bx + c dann (x + h) (x + k) Wenn ax - bx - c oder ax + bx - c dann (x - h) (x + k) Wenn ax - bx + c dann (x - h) (x - k)
In unserem Beispiel, 3x + 2x - 8, müssen die Zeichen folgendermaßen platziert werden: (x - h) (x + k), was die folgenden zwei Faktoren ergibt:(3x + 8) und (x - 1). -
Überprüfen Sie Ihr faktorisiertes Formular, indem Sie es neu entwickeln. Ein erster schneller Test besteht darin, zu überprüfen, ob der mittlere Term den richtigen Wert hat. Wenn x nicht gut ist, haben Sie möglicherweise das falsche Faktorpaar für den Koeffizienten ausgewählt c. Lassen Sie uns unsere Ergebnisse überprüfen:(3x + 8) (x - 1)
Durch Multiplikation erhalten wir:3x - 3x + 8x - 8
Durch Hinzufügen der ähnlichen Ausdrücke (-3x) und (8x) zur Vereinfachung dieses Ausdrucks erhalten wir:3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Wir wissen jetzt, dass wir wahrscheinlich die falschen Faktoren identifiziert haben:3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8. -
Falls erforderlich, tauschen Sie Ihre Auswahl an Faktoren aus. In unserem Beispiel versuchen wir 2 und 4 anstelle von 1 und 8:(3x + 2) (x - 4)
Jetzt unser Koeffizient c ist -8, aber die Multiplikationen (3x * -4) und (2 * x) ergeben -12x und 2x, die zusätzlich nicht immer den Anfangswert von ergeben bdas ist + 2x.-12x + 2x = 10x 10x ≠ 2x. -
Falls erforderlich, kehren Sie die Reihenfolge um. Wir invertieren in unserem Beispiel die Stelle von 2 und 4:(3x + 4) (x - 2)
Nun der Koeffizient c ist immer gut, aber die Koeffizienten der Terme in x sind diesmal -6x und 4x wert. Einmal hinzugefügt, ergibt dies:-6x + 4x = -2x 2x ≠ -2x Wir sind sehr nahe an dem Anfangswert von 2x, den wir suchen, aber das Vorzeichen ist nicht gut. -
Überprüfen Sie die Schilder gegebenenfalls erneut. Wir werden jetzt die gleiche Reihenfolge beibehalten, aber wir werden die Zeichen austauschen:(3x - 4) (x + 2)
Der Koeffizient vor c ist immer gut und die Terme in x sind jetzt (6x) und (-4x) wert. Seit:6x - 4x = 2x 2x = 2x Also bekommen wir die 2x, die wir ursprünglich hatten. Wir haben also wahrscheinlich die richtigen Faktoren gefunden.
Methode 2 Fahren Sie mit der Zersetzung fort
Mit dieser Methode können wir alle möglichen Faktoren identifizieren, um die Koeffizienten zu erhalten hat und c und verwenden Sie sie, um zu identifizieren, welche Faktoren die richtigen sind. Wenn die Zahlen sehr groß sind oder die anderen Trial-and-Error-Methoden zu lang erscheinen, können Sie diese Methode verwenden. Nehmen Sie das folgende Beispiel:
.
-
Multiplizieren Sie den Koeffizienten hat durch den Koeffizienten c. In unserem Beispiel hat ist gleich 6 und c ist auch gleich 6.6 * 6 = 36. -
Finden Sie den Koeffizienten b durch Faktorisierung und anschließendes Testen der erhaltenen Faktoren. Wir suchen zwei Zahlen, die das Produkt beeinflussen hat * c welche wir identifiziert haben und deren Summe den Wert des Koeffizienten "b" (13) wert ist.4 * 9 = 36 4 + 9 = 13. -
Geben Sie die beiden Zahlen ein, die Sie gerade in Ihre Gleichung aufgenommen haben. Stelle sie vor das x, so dass ihre Summe gleich dem Koeffizienten ist b. Nehmen wir die Briefe k und h um die zwei erhaltenen Zahlen 4 und 9 darzustellen:Axt + kx + hx + c 6x + 4x + 9x + 6. -
Berechnen Sie Ihr Polynom durch Gruppieren. Ordnen Sie die Gleichung so an, dass Sie den größten gemeinsamen Faktor der ersten beiden Terme und den größten gemeinsamen Faktor der letzten beiden Terme finden. Sie sollten dann eine Summe von zwei identischen faktorisierten Formularen erhalten. Summieren Sie die beiden Koeffizienten und setzen Sie sie in Klammern vor Ihre faktorisierte Form. Sie erhalten dann Ihre zwei Faktoren:6x + 4x + 9x + 6 2x (3x + 2) + 3 (3x + 2) (2x + 3) (3x + 2).
Methode 3 Das "Dreifachspiel"
Diese Methode ist der vorherigen sehr ähnlich. Dies besteht darin, die möglichen Faktoren für die Produkte der Koeffizienten zu untersuchen hat und c, dann benutze sie, um den Wert von zu finden b. Nehmen Sie zum Beispiel die folgende Gleichung:
-
Multiplizieren Sie den Koeffizienten hat durch den Koeffizienten c. Wie bei der Zerlegungsmethode können wir auf diese Weise potenzielle Kandidaten für den Koeffizienten identifizieren b. In unserem Beispiel hat ist gleich 8 und c ist 2 wert.8 * 2 = 16. -
Suchen Sie die beiden Zahlen, deren Produkt die zuvor gefundene Zahl ist (16) und deren Summe den Koeffizienten "b" ergibt. Dieser Schritt ist identisch mit dem der Zerlegungsmethode - dh wir testen und lehnen Kandidaten für Konstanten ab. Das Produkt der Koeffizienten hat und c ist gleich 16 und der Koeffizient c ist gleich 10:2 * 8 = 16 8 + 2 = 10. -
Nehmen Sie diese beiden Zahlen und ersetzen Sie sie in der Formel "Triple Play". Nehmen Sie die beiden Nummern aus dem vorherigen Schritt - nennen wir sie h und k - und stelle sie in folgendem Ausdruck vor:((ax + h) (ax + k)) / a
Wir bekommen dann:((8x + 8) (8x + 2)) / 8. -
Finden Sie heraus, welcher der Klammerausdrücke im Zähler durch den Koeffizienten teilbar ist hat. In diesem Beispiel testen wir, ob (8x + 8) oder (8x + 2) durch 8 geteilt werden kann. (8x + 8) ist durch 8 teilbar, dann teilen wir diesen Ausdruck durch hat und lass den anderen Ausdruck so wie er ist.(8x + 8) = 8 (x + 1)
Der Ausdruck, den wir hier behalten, ist derjenige, der nach Division durch den Koeffizienten erhalten bleibt hat : (x + 1). -
Finden Sie - falls vorhanden - einen größeren gemeinsamen Faktor in beiden Klammern. In unserem Beispiel hat der zweite Ausdruck einen größeren gemeinsamen Faktor von 2, da 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinieren Sie diese Antwort mit dem Ausdruck, den Sie im vorherigen Schritt gefunden haben. Sie haben also die beiden Faktoren Ihres Polynoms gefunden.2 (x + 1) (4x + 1).
Methode 4 Differenz zweier Quadrate
Einige Koeffizienten der Polynome können als "Quadrate" bezeichnet werden, dh als Produkte der Multiplikation zweier Zahlen. Indem Sie diese Quadrate identifizieren, können Sie einige Polynome viel schneller faktorisieren. Nehmen Sie zum Beispiel die Gleichung:
-
Fangen Sie an, indem Sie alles in einen größeren gemeinsamen Faktor zerlegen, wenn es möglich ist. In unserem Beispiel sehen wir 27 und 12, die beide durch 3 teilbar sind, so dass wir den Anfangsausdruck wie folgt "platzen" können:27x - 12 = 3 (9x - 4). -
Bestimmen Sie, ob die Koeffizienten Ihrer Gleichung quadrierte Zahlen sind. Um diese Methode zu verwenden, sollten Sie in der Lage sein, Quadratwurzeln für Ihre Koeffizienten zu finden (beachten Sie, dass wir keine negativen Vorzeichen berücksichtigen - da es sich um Quadrate handelt, können sie das Produkt von zwei positiven Zahlen oder sein negativ)9x = 3x * 3x und 4 = 2 * 2. -
Schreiben Sie anhand der gefundenen Quadratwurzeln Ihre Faktoren auf. Nehmen Sie die Werte von hat und c vorher gefunden - hat = 9 und c = 4 - bevor sie ihre Quadratwurzel finden - √hat = 3 und √c = 2. Dies sind die Koeffizienten unserer faktorisierten Ausdrücke:27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Methode 5 Mit der quadratischen Formel
Wenn alle oben genannten Methoden fehlgeschlagen sind und Sie die richtigen Faktoren für Ihre Gleichung nicht finden können, verwenden Sie die quadratische Formel. Nehmen Sie das folgende Beispiel:
-
Nehmen Sie die Werte der Koeffizienten "a", "b" und "c" und ersetzen Sie sie in der folgenden quadratischen Formel:x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Wir erhalten dann den Ausdruck:x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2. -
Löse die Gleichung, um x zu finden. Wie Sie oben sehen können, sollten Sie zwei Werte von x erhalten:
x = -2 + √ (3) oder x = -2 - √ (3). -
Verwenden Sie den Wert von x, um die Faktoren zu finden. Geben Sie die zuvor erhaltenen x-Werte als Konstanten der beiden Polynomausdrücke ein. Dies werden Ihre Faktoren sein. Anruf h und k die Werte von x und schreibe die beiden faktorisierten Formen:(x - h) (x - k)
In diesem Fall lautet das Endergebnis:(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).
Methode 6 Einen Taschenrechner benutzen
Wenn Sie einen Grafikrechner verwenden dürfen, beachten Sie, dass dies Ihre Aufgabe, insbesondere während der Prüfungen, erheblich erleichtert. Diese Anweisungen gelten nur für Grafikrechner der Marke Texas Instrument. Nehmen Sie zum Beispiel die folgende Gleichung:
-
Geben Sie Ihre Gleichung in den Taschenrechner ein. Sie müssen die "Resolver-Gleichung" verwenden, dh den Bildschirm. -
Erstellen Sie eine grafische Darstellung Ihrer Gleichung auf dem Taschenrechner. Drücken Sie nach Eingabe der Gleichung -, um die grafische Darstellung der Kurve anzuzeigen (genauer gesagt, Sie erhalten einen "Bogen", weil Sie an Polynomen arbeiten). -
Finden Sie die Schnittpunkte des Bogens mit der x-Achse (x). Da Polynomgleichungen traditionell in der Form geschrieben werden: ax + bx + c = 0, sind dies die beiden Werte von x, für die der Ausdruck gleich Null ist:(-1, 0), (2 , 0) x = -1, x = 2. - Wenn Sie die Werte der Stelle, an der Ihre Kurve die x-Achse schneidet, nicht ablesen können, drücken Sie dann. Drücken Sie oder wählen Sie "Null". Bewegen Sie den Cursor links von einer der Kreuzungen und drücken Sie. Bewegen Sie dann den Cursor rechts von dieser Kreuzung und drücken Sie erneut. Bewegen Sie als nächstes den Cursor so nah wie möglich an die Kreuzung und drücken Sie erneut. Der Rechner findet den Wert von x. Machen Sie dasselbe als nächstes für die andere Kreuzung.
-
Führen Sie abschließend die im vorherigen Schritt erhaltenen x-Werte in einen Zweifaktorausdruck ein. Wenn wir anrufen h und k Wenn wir die beiden Werte von x verwenden, verwenden wir den folgenden Ausdruck:(x - h) (x - k) = 0
Und so erhalten wir die folgenden zwei Faktoren:(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
- Ein Bleistift
- Papier
- Eine Gleichung zweiten Grades (oder quadratische Gleichung)
- Ein Grafikrechner (optional)